基于SEIR模型的COVID-19疫情防控效果评估和预测*

陈兴志, 田宝单, 王代文,黄飞翔, 付凌燕, 徐浩莹

(西南科技大学 理学院, 四川 绵阳 621010)

摘要: 通过对COVID-19疫情在中国的传播情况进行分析,建立了一个SEIR流行病模型,模型中将确诊人群分成已收治和未收治两类.先从理论上分析了模型的无病平衡点及其稳定性、基本再生数等关键问题;再结合实际数据,对武汉封城前和封城后两个阶段疫情的发展趋势进行数值模拟和比较分析,讨论了模型中一些重要参数对确诊人数的影响;最后,针对上述理论分析和数值模拟的结果,对之前采取的一些控制策略作了分析评估,同时对疫情后期发展进行预测.

关 键 词: COVID-19; 基本再生数; 无病平衡点; 稳定性; 疫情评估

引 言

2019年12月以来,湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例,临床诊断均为病毒性肺炎或肺部感染.2020年1月7日,中国确认了该病毒病原体为一种新型冠状病毒;2020年1月12日,世界卫生组织(WHO)将该新型冠状病毒命名为2019-nCoV;2020年2月11日,世界卫生组织宣布将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19;2020年 1 月 30 日,新型冠状病毒肺炎疫情被列为 “国际关注的突发公共卫生事件”[1-3].此次疫情爆发突然,面对如此严峻的形式,中国政府迅速采取了一系列措施来控制疫情:武汉市于1月23日开始封城,全国人民自觉居家隔离,所有娱乐场所和商店均关闭,企业延期复工,各大中小学延期开学等等.

由于此次COVID-19疫情对中国乃至全世界人民的生产、生活带来了极其严重的影响,一大批专家学者迅速投入到对流行病传播规律及动力学行为的研究之中,例如:Dai等[4]根据重庆市和贵州省的报道数据,建立了COVID-19的阶段动态模型,估算了重庆和贵州1月25日至3月2日PCIs的平均强度.杨雨琦等[5]使用SIR传染病模型,研究了重庆市的疫情发展趋势,为政府疫情防控及相关政策制定提供了重要参考.耿辉等[6]建立SEIR模型,评价COVID-19疫情中相关干预措施的作用.Wu等[7]对武汉的疫情规模进行了估计,并预测了国内和全球流行病的公共卫生风险程度,同时考虑了社会和非药物预防干预措施.张云俊等[8]对比分析了常用的传染病数学和统计模型,重点研究了已经公开的有关新型冠状病毒的数学模型及其实际效果.曹盛力等[9]建立了联合考虑潜伏期传播能力和追踪隔离干预措施的COVID-19 SEIR传染病动力学模型,以2020年1月23日至2月24日湖北省的疫情数据为依据,拟合得到了新建立的修正SEIR模型的动力学参数.赵序茅等[10]利用大数据回溯新冠肺炎在全国扩散的趋势和传染系数,并基于SEIR模型及每天的确诊人数对疫情发展情况进行拟合,得出了基本再生数.

本文正是基于以上背景,针对中国武汉封城前和封城后的COVID-19疫情,建立了一个将现有确诊人群划分为现有已收治和现有未收治两类的SEIR模型,分别对封城前和封城后两种情况进行分类讨论.根据两段数据及建立的模型,研究了COVID-19疫情在中国的发展变化趋势,并对疫情控制情况进行评估分析,预测了疫情后期的发展情况.

1 数 学 模 型

根据COVID-19的主要流行病学特征,我国各地目前均已开展检疫、隔离、卫生防护等多种公共卫生干预措施[4].因此建模时我们将人群分为易感人群(S)、潜伏人群(E)、现有已收治确诊人群(I1)、现有未收治确诊人群(I2)、治愈或死亡移出人群(R).

本文根据官方每日发布的累计确诊病例、现有确诊病例、新增确诊病例、疑似病例、死亡病例、治愈病例等数据,对武汉封城前后两个阶段,建立了以下的SEIR模型:

(1)

其中,具体参数含义及说明见后文表1.

2 主 要 结 果

2.1 无病平衡点与基本再生数

令系统(1)的右端为0,得到系统的无病平衡点为

P0(S*,0,0,0,0),

其中 S*=Λ/μ.

若记

X=[E I1 I2 S R]T

(2)

则系统(1)可记为

X′=N(x)-M(x),

(3)

其中

(4)

(5)

下面利用下一代矩阵方法(见文献[11])计算基本再生数.若记

(6)

(7)

(8)

2.2 无病平衡点的稳定性

定理1

1) 当R0<1时,系统(1)的无病平衡点P0(Λ/μ,0,0,0,0)局部渐近稳定;

2) 当R0>1时,则系统(1)的无病平衡点P0(Λ/μ,0,0,0,0)不稳定.

证明 系统(1)在无病平衡点P0(Λ/μ,0,0,0,0,0)处的Jacobi矩阵为

(9)

令det(λE-J(P0))=0,计算出J(P0)的特征值为λ1,λ2=-μλ3λ4λ5满足三次方程:

(10)

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0,

(11)

其中

(12)

因此,当R0<1时,有

Δ1=a1=(ω1+γ1)+(ω2+γ2)+(ε1+ε2+σ)(1-R0)+

(13)

(ω1+γ1)(ε1+ε2+σ)(1-R0)+(ω2+γ2)(ε1+ε2+σ)(1-R0)+

(ω1+γ1)(ω2+γ2)(ε1+ε2+σ)(1-R0)>0,

(14)

(15)

因此,当系统(1)的基本再生数R0<1时,根据Routh-Hurwitz判据(见文献[12])可知,系统(1)的无病平衡点P0(Λ/μ,0,0,0,0)局部渐近稳定.

当系统(1)的基本再生数R0>1时,

a3=(ω1+γ1)(ω2+γ2)(ε1+ε2+σ)(1-R0).

(16)

根据Vieta定理,λ3λ4λ5=-a3>0,从而λ1λ2λ3中至少有一个为正,因而系统(1)的无病平衡点P0(Λ/μ,0,0,0,0)不稳定.

下面,我们对无病平衡点P0(Λ/μ,0,0,0,0)的全局渐近性质进行讨论.

定理2 若R0<1时,则系统(1)的无病平衡点P0(Λ/μ,0,0,0,0)是全局渐近稳定的.

证明 构造如下的Lyapunov函数:

(17)

因此,当R0<1时,有

(λ2E+λ1(I1+I2))(R0-1)<0,

(18)

且dV/dt|(1)=0,当且仅当R0=1;又当时,得到R0=0,S*=Λ/μ.

因此,当系统(1)的基本再生数满足R0<1时,根据LaSalle不变原理(见文献[13])和Lyapunov稳定性定理(见文献[14])可知,系统(1)的无病平衡点P0(Λ/μ,0,0,0,0)全局渐近稳定.

3 模 型 应 用

3.1 数据来源与说明

本文以武汉市总人口约11 081 000人为初始易感人群总数作为研究对象[15].通过国家卫生健康委员会网站[16]以及湖北省卫生健康委员会网站[15]公开发布的官方数据为原始数据,收集了2020年1月10日以后每日的疫情数据,包括确诊人群、疑似人群、死亡人群、治愈人群等数据.

本文考虑的潜伏期和人们被隔离的时间为14天[3,17].

注1 钟南山团队根据1 099个病例,提出中位潜伏期为4天(四分位间距为2到7)[18].Backer团队根据88例确诊病例的旅行史和症状表征,估计平均潜伏期为6.4天,潜伏期范围从2.1天到11.1天[19].

鉴于2020年2月12日官方首次将临床诊断病例加入到确诊人群中,造成了数据的突然增加,我们将该日的临床诊断病例按比例加入到之前每一日的确诊人群中.同时,患者日益快速增加致使当地医院床位变得供不应求,床位和医护人员紧张,导致一些确诊患者无法得到医院的及时收治和医治,只能自己居家隔离.因此我们在分析过程中,将确诊人群分为已收治和未收治两种情形进行讨论.此外,本文根据国家卫生健康委员会网站以及湖北省卫生健康委员会网站公开的医院床位数,按比例将确诊人群分为已收治确诊人群和未收治确诊人群,其中已收治确诊人群约占总数的40%,未收治确诊人群约占总数的60%.最后,本文将数据集分为两个部分:2020年1月10日至1月23日作为封城前数据,2020年1月24日及以后作为封城后数据.

3.2 数值分析

本小节利用MATLAB软件对模型(1)进行数值模拟,我们通过数值拟合并结合相关资料,给出了相关参数的具体取值.其中治愈率、死亡率从实际数据中计算得到,自然死亡率从国家统计局网站中查阅得到,其余参数均通过数值拟合.

经计算,封城前治愈率为γ0=0.173 433 481,死亡率ω0=0.025 089 344,因此取已收治确诊人群的治愈率γ10=50%·γ0,死亡率ω10=40%·ω0;未收治确诊人群的治愈率γ20=20%·γ0,死亡率ω20=70%·ω0.

封城后治愈率为γ=0.632 859 962,死亡率ω=0.031 855 658,因此我们取已收治确诊人群的治愈率γ1=95%·γ;死亡率ω1=45%·ω;未收治确诊人群的治愈率γ2=90%·γ,死亡率ω2=90%·ω.具体参数数值见表1.

表1 模型参数说明及取值
Table 1 Model parameter descriptions and values

parametermeaningvalue before the city closureV1value after the city closureV2setting basisΛconstant input rate0.010 000 000.100 000 00numerical simulationλ1disease transmission rate0.000 215 000.000 029 00numerical simulationλ2disease transmission rate0.000 240 000.000 030 00numerical simulationε1conversion rate of I10.450 000 000.700 000 00numerical simulationε2conversion rate of I20.650 000 000.999 500 00numerical simulationσcure withdrawal rate of I10.009 900 000.010 000 00numerical simulationω1mortality rate of I10.010 035 740.014 335 05calculated from actual dataω2mortality rate of I20.017 562 540.028 670 09calculated from actual dataγ1cure rate of I10.086 716 740.601 216 96calculated from actual dataγ2cure rate of I20.034 686 700.569 573 97calculated from actual dataμnatural mortality0.000 019 560.000 019 56ref. [20]

3.2.1 封城前模型(1)的数值模拟

根据国家卫生健康委员会和湖北省卫生健康委员会发布的疫情实际数据,选取初值为

S(0)=110 810, E(0)=50, R(0)=3, I1(0)=20, I2(0)= 30,

其中S(0)的取值与文献[15]中的取值相同,百人;E(0),R(0),I1(0),I2(0)的取值与国家卫生健康委员会和湖北省卫生健康委员会初次发布的疫情实际数据相同.当模型(1)的参数取如表1中的具体数值时,可以得到R0=1.803 0.

因此,由R0>1可知,COVID-19疫情正处于自然爆发阶段,疫情将进一步蔓延传播,将会有更多的人感染上新冠肺炎.所以必须采取措施对疫情进行控制和防范.其中,封城前模型拟合数据和实际数据以及两类数据对比如图1所示.图1(a)为封城前现有已收治确诊人群数值拟合结果与实际数据对比图;图1(b)为封城前现有未收治确诊人群数值拟合结果与实际数据对比图.系统(1)的数值拟合结果和原始数据图像基本重合,具有相同的变化趋势,均呈现出指数变化的上升趋势.可以看出在封城之前,由于未对疾病采取控制和预防措施,疾病处于自然传播阶段,疫情扩散蔓延,导致确诊人数急剧上升.

图1 封城前确诊人群模型拟合数据与原始数据对比图
Fig. 1 Comparison between the fitted data and the original data of the diagnosed crowd model before the city closure

3.2.2 封城后模型(1)的数值模拟

根据国家卫生健康委员会和湖北省卫生健康委员会发布的疫情实际数据,选取初值为

S(0)=110 810, E(0)=1 965, R(0)=79, I1(0)= 629, I2(0)= 944,

其中S(0),E(0),R(0),I1(0),I2(0)的取值方法与3.2.1小节相同.当模型(1)的参数取如表(1)中的数值是,我们可以得到R0=0.333 2.

图2 封城后确诊人群模型拟合数据与原始数据对比图
Fig. 2 Comparison between the fitted data of the diagnosed crowd model and the original data after the city closure

图3 封城前参数λi对确诊人群Ii的灵敏度分析
Fig. 3 Sensitivity analysis of parameter λi to diagnosed population Ii before the city closure

因此,由R0<1可知,COVID-19疫情得到了有效的控制,相对于封城前的数据而言,基本再生数R0有了较大的下降.其中,封城后确诊人群模型拟合数据和原始数据以及两类数据对比如图2所示.图2(a)为封城后现有已收治确诊人群系统(1)数值拟合结果与实际数据对比图;图2(b)为封城后现有未收治确诊人群系统(1)数值拟合结果与实际数据对比图.由图可知,系统(1)的数值拟合结果和原始数据结果图像趋于重合.确诊人数在一段上升期后逐渐趋于平缓甚至下降,没有进一步上升的趋势.这说明武汉市的封城措施对疫情的防控起到了至关重要的作用,并且政府调配大量的医务人员和医疗物资对疫情进一步蔓延起到了良好的抑制作用,疫情得到了较好的控制.由于确诊患者不断地被治愈或者移除,从图像来看,确诊人群最后将呈下降趋势,虽然疫情仍然将持续存在,但是在未来的一段时间内,疫情将会逐渐减缓直至消失.

图4 封城前参数εi对确诊人群Ii的灵敏度分析
Fig. 4 Sensitivity analysis of parameter εi to diagnosed population Ii before the city closure

3.2.3 参数λ1,λ2,ε1,ε2,γ1,γ2的灵敏度分析

为了研究与分析系统(1)的稳定性对系统参数条件变化的敏感程度.我们将分别利用参数λ1,λ2,ε1,ε2,γ1,γ2对封城前和封城后系统(1)的稳定进行灵敏度分析.其中,对封城前模型中各类参数的灵敏度分析见图3~5,对封城后模型中各类参数的灵敏度分析见图6~8.

封城前,参数λ1对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图3(a)所示;参数λ1对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图3(b)所示;参数λ2对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图3(c)所示;参数λ2对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图3(d)所示.

图5 封城前参数γi对确诊人群Ii的灵敏度分析
Fig. 5 Sensitivity analysis of parameter γi to diagnosed population Ii before the city closure

封城后,参数λ1对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图6(a)所示;参数λ1对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图6(b)所示;参数λ2对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图6(c)所示;参数λ2对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图6(d)所示.

图6 封城后参数λi对确诊人群Ii的灵敏度分析
Fig. 6 Sensitivity analysis of parameter λi to diagnosed population Ii after the city closure

从图中可以看出,参数λ对封城前与封城后系统(1)的影响一致.随着参数λ值的进一步增大,确诊人群I将会进一步的增加;随着参数λ值的减小,确诊人群I将会减少.λ1的变化与I1I2均成正比;λ2的变化与I1I2也均成正比,所以参数λ对系统(1)的影响较大,说明如果不进一步减小COVID-19疫情的传染率和控制人与人之间的传染,疫情将会向着更坏的方向发展,确诊人群I将会进一步激增.当λ1的值越小,已收治确诊人群I1和未收治确诊人群I2的疫情峰值的变化具有相同趋势,其到来时间将会更慢;但是当λ1的值越大,已收治确诊人群I1和未收治确诊人群I2的疫情峰值的到来时间将会加快.同样地,当λ2的值越小,已收治确诊人群I1和未收治确诊人群I2的疫情峰值的变化同样具有相同的趋势,其来时间也将会更慢;当λ2的值越大,已收治确诊人群I1和未收治确诊人群I2的疫情峰值的到来时间将会加快.

封城前,参数ε1对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图4(a)所示;参数ε1对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图4(b)所示;参数ε2对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图4(c)所示;参数ε2对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图4(d)所示.封城后,参数ε1对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图7(a)所示; 参数ε1对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图7(b)所示; 参数ε2对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图7(c)所示; 参数ε2对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图7(d)所示.从图中可以看出, 参数ε对封城前与封城后系统(1)的影响一致.ε1的变化与I1成正比, 与I2成反比;ε2的变化与I1成反比, 与I2成正比, 所以参数ε对系统(1)有影响.说明如果不进一步减小COVID-19疫情从疑似人群转化为确诊人群的转化率, 确诊人群I将会进一步激增, 所以应该对疑似人群进行大范围的检验, 解除疑似, 减少疑似人群的数量.

图7 封城后参数εi对确诊人群Ii的灵敏度分析
Fig. 7 Sensitivity analysis of parameter εi to diagnosed population Ii after the city closure

封城前,参数γ1对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图5(a)所示;参数γ1对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图5(b)所示;参数γ2对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图5(c)所示;参数γ2对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图5(d)所示.

图8 封城后参数γi对确诊人群Ii的灵敏度分析
Fig. 8 Sensitivity analysis of parameter γi to diagnosed population Ii after the city closure

封城后,参数γ1对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图8(a)所示;参数γ1对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图8(b)所示;参数γ2对系统(1)已收治确诊人群I1的影响如图8(c)所示;参数γ2对系统(1)未收治确诊人群I2的影响如图8(d)所示.从图中可以看出,参数γ对封城前与封城后系统(1)的影响一致.随着参数γ值的进一步增大,确诊人群I将会减少;随着参数γ值的减小,确诊人群I将会增加.γ1的变化与I1I2均成反比,γ2的变化与I1I2也均成反比,所以参数γ对系统(1)有影响.这说明进一步增加治愈退出率γ对控制COVID-19疫情的发展有很大的作用.因此,我们应该加大投入医疗救助和医疗物资,提高确诊人群的治愈率.

4 结论与建议

根据前面的讨论知:在封城前,基本再生数R0>1,COVID-19疫情流行病特征尚未明确,处于自然爆发和蔓延传播阶段,如果疫情得不到有效的控制,将会有更多人感染COVID-19病毒,情况不容乐观.在封城后,基本再生数R0<1,说明武汉封城对COVID-19疫情的防控至关重要,并且随着中国政府对疫情的控制和干预以及大量医务人员和医疗物资的投入,COVID-19疫情在中国得到了较好的控制,确诊人数曲线逐渐趋于平缓,并随着患者的不断治愈移除,图像呈下降的趋势.COVID-19疫情将在未来的一段时间内持续存在,但随着时间的推移,在严格按照中国政府提出的防疫策略的控制之下,COVID-19疫情将有所减缓并且将会消失.因此,本文所建立的一类基于SEIR模型的COVID-19传染病模型及其理论结果和数值模拟结果具有一定的应用价值,可为疫情的防治和控制提供一些理论依据和支持.在此,我们建议政府应该加强对COVID-19疫情的监控,预防境外输入性疫情的传播,进一步对现有确诊病例进行救治,对疫情严重的地区进行逐一排查,避免存在确诊患者引起疫情的第二轮爆发,并且应对无症状感染者加强监控,逐步恢复人民的生产生活,推进企业的复工复产.

致谢 本文作者衷心感谢西南科技大学理学院大学生创新基金(LX2020005)和西南科技大学龙山学术人才科研支持计划项目(17LZX670;18LZX622)对本文的资助.

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Evaluation and Prediction of Prevention and Control Effects of the COVID-19 Epidemic Based on the SEIR Model

CHEN Xingzhi, TIAN Baodan, WANG Daiwen,HUANG Feixiang, FU Lingyan, XU Haoying

(School of Science, Southwest University of Science and Technology, Mianyang, Sichuan 621010, P.R.China)

Abstract: Based on the analysis of the spread of the COVID-19 epidemic in China, a SEIR epidemic model was established with the diagnosed population divided into 2 categories: the admitted population and the non-admitted population. Through theoretical analysis, the basic reproduction number, the disease-free equilibrium of the model and its stability were derived. Further, several numerical simulations and comparative analysis were conducted on the development trend of the epidemic situation in Wuhan before and after the city closure, as well as the influences of some important parameters in the model on the number of diagnosed cases. Finally, according to the results of above theoretical analysis and numerical simulations, some control strategies previously adopted were analyzed and evaluated, and predictions were made for the development of the epidemic.

Key words: COVID-19; basic reproduction number; disease-free equilibrium; stability; epidemic assessment

中图分类号: O175.13

文献标志码:A

DOI:10.21656/1000-0887.410139

*收稿日期: 2020-05-14; 修订日期:2020-12-31

基金项目: 国家级大学生创新创业训练项目(S202010619021);四川省科技厅应用基础项目(2017JY0336)

作者简介:

陈兴志(1997—),男(E-mail: 1451025961@qq.com);

田宝单(1981—),男,教授,博士(通讯作者. E-mail: tianbaodan@swust.edu.cn).

引用格式: 陈兴志, 田宝单, 王代文, 黄飞翔, 付凌燕, 徐浩莹. 基于SEIR模型的COVID-19疫情防控效果评估和预测[J]. 应用数学和力学, 2021, 42(2): 199-211.